過剰決定多項式非線形 PDE 系または ODE 系の簡素化

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DEtools[rifsimp] - 過剰決定多項式非線形 PDE 系または ODE 系の簡素化

	使い方
	rifsimp(system, options) rifsimp(system, vars, options)

パラメータ

system	-	多項式非線形 PDEs または ODE (不等式を含まない場合もあります)のリストまたはセット
vars	-	(オプション) 主要な従属変数のリスト
options	-	(オプション) rifsimp の動作を制御するオプション列

説明

•	rifsimp 関数は、多項式の非線形 PDE や ODE、不等式の過剰決定系を簡素化または再加工してより使いやすい相対的な標準形式にすることができます。rifsimp 関数は PDE 系の解は求めませんが、存在を示して一意性を提供することで、解を導くための最初のステップとして使用できます。例で示すように rifsimp を使用して矛盾した系を検出することができます。

•	一般に、解を求めるための入力 PDE 系、従属変数や定数のリストが与えられると、簡素化された PDE 系とこの簡素化系を保持するのに必要な存在条件が rifsimp から返されます。

•	各種系で rifsimp を使用する詳しい例 (および一部のアルゴリズムの説明) については、rifsimp[overview] を参照してください。

•	他のオプションでは系や求解用の変数を指定する必要がある場合があります。代表的な各オプションについては rifsimp[options] を、より高度なオプションについては rifsimp[adv_options] をそれぞれ参照してください。

•	可能な出力設定の詳細については、rifsimp[output] を参照してください。

例

1. 過剰決定系

最初の例として、1 つの従属変数 y(x) を持つ 2 種類の不等式の系を過剰決定します。

sys1 := [x*(diff(y(x), x))^2*(diff(y(x), x, x))^2-2*x*(diff(y(x), x))*(diff(y(x), x, x))*y(x)*(diff(y(x), x, x, x))+x*y(x)^2*(diff(y(x), x, x, x))^2-y(x)*(diff(y(x), x, x))+(diff(y(x), x))^2 = 0, -(diff(y(x), x))*(diff(y(x), x, x))+y(x)*(diff(y(x), x, x, x))+2*y(x)^2*(diff(y(x), x, x))^2-4*y(x)*(diff(y(x), x, x))*(diff(y(x), x))^2+2*(diff(y(x), x))^4 = 0]

sys1 := [x*(diff(y(x), x))^2*(diff(y(x), `$`(x, 2)))^2-2*x*(diff(y(x), x))*(diff(y(x), `$`(x, 2)))*y(x)*(diff(y(x), `$`(x, 3)))+x*y(x)^2*(diff(y(x), `$`(x, 3)))^2-y(x)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))+(diff(y(x), x))^2 = 0, -(diff(y(x), x))*(diff(y(x), `$`(x, 2)))+y(x)*(diff(y(x), `$`(x, 3)))+2*y(x)^2*(diff(y(x), `$`(x, 2)))^2-4*y(x)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))*(diff(y(x), x))^2+2*(diff(y(x), x))^4 = 0]

(4.1)

ここで次のように rifsimp を呼び出します。

ans1 := TABLE([Case = [[y(x) <> 0, diff(y(x), `$`(x, 3))]], Solved = [diff(y(x), `$`(x, 2)) = (diff(y(x), x))^2/y(x)], Pivots = [y(x) <> 0]])

(4.2)

ここで系がより単純な方程式に簡素化され (y(x) の場合は完全にゼロになるわけではありません)、Maple の dsolve で処理できるようになります。

${y(x) = exp(_C1*x)*_C2}$

(4.3)

厳密解を得るために dsolve を支援するだけでなく、この簡素化された形式は、initialdata 関数と組み合わせて使用することで、式を解くのに必要な初期データを得ることができます。

(4.4)

この場合は、2 階 ODE で想定された結果が得られましたが、さらに複雑な PDE 系のための必須初期データを計算することもできます (詳細は initialdata を参照してください)。これで、initialdata で計算した型の初期条件を持つ縮小された系に対し、数値計算方法を正しく適用できるようになりました。

(4.5)

最終的には、この問題の局所解の形式べき級数 (Taylor 級数) を得ることもできます (詳細については rtaylor を参照してください)。

tay_ser := [y(x) = y(x[0])+(D(y))(x[0])*(x-x[0])+(1/2)*(D(y))(x[0])^2*(x-x[0])^2/y(x[0])+(1/6)*(D(y))(x[0])^3*(x-x[0])^3/y(x[0])^2+(1/24)*(D(y))(x[0])^4*(x-x[0])^4/y(x[0])^3]

(4.6)

前述の初期データを与えると、上記のように級数が完全に決定されます：

tay_ser := [y(x) = _C1+_C2*(x-x[0])+(1/2)*_C2^2*(x-x[0])^2/_C1+(1/6)*_C2^3*(x-x[0])^3/_C1^2+(1/24)*_C2^4*(x-x[0])^4/_C1^3]

(4.7)

2. 矛盾する系

rifsimp は、系が矛盾していないか判別するのによく使用されます。

sys2 := [(diff(u(x, y), x))^2+diff(u(x, y), y, y) = 0, u(x, y)^3-(diff(u(x, y), x))+x = 0]

(4.8)

3. 拘束機械系

この例では、rifsimp を拘束機械系 (代数方程式、つまり DAE 系) のプリプロセッサとして使用します。Lagrange 法の公式を使用すると、以下の重力下における摩擦なし形状 Phi(x,y) のワイヤのビーズ運動の非ゼロ質量 m を求めることができます：

ConstrainedSys := [m <> 0, Phi(x(t), y(t)) = 0, m*(diff(x(t), t, t)) = -lambda(t)*(D[1](Phi))(x(t), y(t)), m*(diff(y(t), t, t)) = -lambda(t)*(D[2](Phi))(x(t), y(t))-m*g]

ConstrainedSys := [m <> 0, Phi(x(t), y(t)) = 0, m*(diff(x(t), `$`(t, 2))) = -lambda(t)*(D[1](Phi))(x(t), y(t)), m*(diff(y(t), `$`(t, 2))) = -lambda(t)*(D[2](Phi))(x(t), y(t))-m*g]

(4.9)

空気抵抗を考慮せずに、重力下で降下する質量は次のように表されます：

(4.10)

ここでは振子を例に挙げ、ビーズは円を描くようにワイヤ上を移動します。

(4.11)

[m <> 0, x(t)^2+y(t)^2-1 = 0, m*(diff(x(t), `$`(t, 2))) = -2*lambda(t)*x(t), m*(diff(y(t), `$`(t, 2))) = -2*lambda(t)*y(t)-m*g]

(4.12)

このような拘束系を数値ソルバで表すことは非常に困難です。もちろん、極座標を使用した拘束を排除することはできますが、通常、複雑な拘束を受ける機械系にとってこれは不可能です。たとえば、拘束を別の関数に置き換えることでワイヤの形状を変えてみます。

(4.13)

(ページ Rif の参考文献およびパッケージ情報 (Reidら著: 1996 年) を参照してください)。振子はこのような系における代表的な例で、アプリケーションでの重要性が高いことから近年の中心的な研究対象です。

(4.14)

TABLE([Finite = [lambda(t[0]) = _C1, x(t[0]) = _C2, y(t[0]) = _C3, (D(y))(t[0]) = _C4, g = _C5, m = _C6], Pivots = [_C6 <> 0, _C2 <> 0, _C3-1 <> 0, _C3+1 <> 0], Infinite = [], Constraint = [_C6*_C4^2+2*_C3^2*_C1-_C3*_C6*_C5+_C3^3*_C6*_C5-2*_C1 = 0, _C2^2+_C3^2-1 = 0]])

(4.15)

前述した例ほどの簡潔さはないものの、rifsimp によって初期条件で満たす必要があるさらに別の拘束 (出力 initialdata における Constraint および Pivots) が見つかり、時間導関数の方程式 lambda(t) を得ることができます。ここで Maple の dsolve[numeric] を使用すると前述した例のような数値解が得られます。

4. Lie 対称性決定

この例では、rifsimp で ODE の Lie 点の対称性を決定する方法を示します：

ODE := 2*x^2*y(x)*(diff(y(x), x, x))-x^2*((diff(y(x), x))^2+1)+y(x)^2

ODE := 2*x^2*y(x)*(diff(y(x), `$`(x, 2)))-x^2*((diff(y(x), x))^2+1)+y(x)^2

(4.16)

以下のようにして、Lie 点の対称性を求める PDE 系を得ます：

>	$sys := {coeffs(numer(DEtools[odepde](ODE, ([xi, eta])(x, y), y(x))), _y1)}$

(4.17)

rifsimp を使用してこの系を次のように大幅に簡約します：

rifsys := TABLE([Solved = [diff(eta(x, y), `$`(x, 2)) = (-eta(x, y)*x+xi(x, y)*y)/x^3, diff(xi(x, y), x) = eta(x, y)/y, diff(eta(x, y), y) = eta(x, y)/y, diff(xi(x, y), y) = 0]])

(4.18)

この時点で pdsolve を使用すると以下のように Lie 点の対称性を得ることができます：

${eta(x, y) = (_C1+_C2*ln(x)+_C3*ln(x)^2)*y, xi(x, y) = x*(_C3*ln(x)^2+(-2*_C3+_C2)*ln(x)-_C2+2*_C3+_C1)}$

(4.19)

	参照
	checkrank, dsolve[numeric], initialdata, Rif, rifsimp/adv_options, rifsimp/cases, rifsimp/nonlinear, rifsimp/options, rifsimp/output, rifsimp/overview, rifsimp/ranking