form the direct sum representation for a pair of representations of a Lie algebra

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LieAlgebras[DirectSumOfRepresentations] - form the direct sum representation for a pair of representations of a Lie algebra

Calling Sequences

DirectSum(R, W)

Parameters

R - a list R = [rho1, rho2, ...] of representations rho1, rho2, ... of a Lie algebra g on vector spaces V1, V2, ...

W - a Maple name or string, the name of the frame for the representation space for the direct sum representation

Description

•	Let W = V1 + V2 + ... (direct sum). The command DirectSum(R, W) returns the representation phi on W defined by phi(x)(y) = rho1(x)(y1) + rho2(x)(y2) + ..., where y = y1 + y2 + ..., y1 in V1, y2 in V2, ... and x in g.

Examples

Example 1.

Define the standard representation and the adjoint representation for sl2. Then form the direct sum representation. First, setup the representation spaces.

V1 >

V2 >

W1 >

Define the standard representation.

W2 >

M1 := [Matrix(2, 2, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 0}), Matrix(2, 2, {(1, 1) = 1, (1, 2) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = -1}), Matrix(2, 2, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 0, (2, 1) = 1, (2, 2) = 0})]

(2.1)

W2 >

(2.2)

W2 >

(2.3)

sl2 >

rho1 := [[e1, Matrix(2, 2, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 1, (2, 1) = 0, (2, 2) = 0})], [e2, Matrix(2, 2, {(1, 1) = 1, (1, 2) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = -1})], [e3, Matrix(2, 2, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 0, (2, 1) = 1, (2, 2) = 0})]]