The Slode Package - Maple Help

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The Slode Package

The Slode package contains functions to find formal power series solutions of linear ordinary differential equations (LODEs), to determine points for some special series solutions (hypergeometric, rational, polynomial, and sparse series).

Create a LODEstruct Structure from a LODE

DEdetermine - Check a LODE and create the LODEstruct structure

(1.1)

(1.2)

Create Formal Power/Taylor Series Solutions

FPseries - Create formal power series solutions

(3*x^2-6*x+3)*(diff(diff(y(x), x), x))+(12*x-12)*(diff(y(x), x))+6*y(x)

(2.1)

FPSstruct(_C[0]+_C[1]*x+Sum(v(n)*x^n, n = 2 .. infinity), (n^2-n)*v(n)+(-2*n^2+2*n)*v(n-1)+(n^2-n)*v(n-2))

(2.2)

FTseries - Create formal Taylor series solutions

FPSstruct(_A[0]+_A[1]*x+(1/2)*(-2*_A[0]+4*_A[1])*x^2+Sum(v(n)*x^n/factorial(n), n = 3 .. infinity), v(n)-2*n*v(n-1)+(n^2-n)*v(n-2))

(2.3)

Determine Candidate Points for Some Special Series Solutions

candidate_points - Determine candidate points for hypergeometric, rational and polynomial power series solutions of homogeneous LODEs with polynomial coefficients

(3*x^2-6*x+3)*(diff(diff(y(x), x), x))+(12*x-12)*(diff(y(x), x))+6*y(x)

(3.1)

(3.2)

(3.3)

${1, any_ordinary_point}$

(3.4)

candidate_mpoints - Determine mpoints for m-sparse power series

ode := (2+x^2)*(diff(y(x), x, x, x))-2*(diff(y(x), x, x))*x+(2+x^2)*(diff(y(x), x))-2*x*y(x)

(2+x^2)*(diff(diff(diff(y(x), x), x), x))-2*(diff(diff(y(x), x), x))*x+(2+x^2)*(diff(y(x), x))-2*x*y(x)

(3.5)

[[2, LODEstruct({y(x)+diff(diff(y(x), x), x)}, {y(x)}), {0}]]

(3.6)

candidate_mpoints/irreducible - Use a much faster algorithm that returns all m-points if the equation is irreducible

ode := diff(y(x), x, x)+(x-1)*y(x)

diff(diff(y(x), x), x)+(x-1)*y(x)

(3.7)

(3.8)

Find Formal Power Series Solutions

polynomial_series_sol - Find formal power series solutions with polynomial coefficients

(3*x^2-6*x+3)*(diff(diff(y(x), x), x))+(12*x-12)*(diff(y(x), x))+6*y(x)

(4.1)

${Sum((_C[0]+n*_C[1])*x^n, n = 0 .. infinity)}$

(4.2)

rational_series_sol - Find formal power series solutions with rational coefficients

(3-x)*(diff(diff(y(x), x), x))-(diff(y(x), x))

(4.3)

${_C[1]+_C[0]*(Sum((x-2)^n/n, n = 1 .. infinity))}$

(4.4)

hypergeom_series_sol - Find formal power series solutions with hypergeometric coefficients

2*x*(x-1)*(diff(diff(y(x), x), x))+(7*x-3)*(diff(y(x), x))+2*y(x) = 0

(4.5)

${_C[1]*(Sum((n+1)*x^n/(2*n+1), n = 0 .. infinity)), _C[1]*(Sum((-1)^n*GAMMA(n+1/2)*(x-1)^n/GAMMA(n+1), n = 0 .. infinity)), _C[1]*(Sum(GAMMA(n+1/2)*(x+1)^n/factorial(n), n = 0 .. infinity))}$

(4.6)

msparse_series_sol - Find formal m-sparse power series solutions

ode := (1/9)*(2*(x^3-2*x^2*(1/3)+(1/9)*x))*(diff(y(x), x, x, x))+(1/9)*(2*(9*x^2-4*x+1/3))*(diff(y(x), x, x))+(1/9)*(2*(18*x-4))*(diff(y(x), x))+4*y(x)*(1/3)

(1/9)*(2*x^3-(4/3)*x^2+(2/9)*x)*(diff(diff(diff(y(x), x), x), x))+(1/9)*(18*x^2-8*x+2/3)*(diff(diff(y(x), x), x))+(1/9)*(36*x-8)*(diff(y(x), x))+(4/3)*y(x)

(4.7)

${FPSstruct((1/36)*_C[2]+_C[2]*(x-1/6)^2+36*_C[2]*(x-1/6)^4+Sum(v(2*n)*(x-1/6)^(2*n), n = 3 .. infinity), -36*v(2*n-2)+v(2*n)), FPSstruct(_C[1]*(x-1/6)+36*_C[1]*(x-1/6)^3+1296*_C[1]*(x-1/6)^5+Sum(v(2*n+1)*(x-1/6)^(2*n+1), n = 3 .. infinity), -36*v(2*n-1)+v(2*n+1))}$

(4.8)

mhypergeom_series_sol - Find formal m-sparse m-hypergeometric power series

ode := diff(y(x), x, x)+(x-1)*y(x)

diff(diff(y(x), x), x)+(x-1)*y(x)

(4.9)

${_C[1]*(Sum((-1/9)^n*(x-1)^(3*n+1)/(GAMMA(n+1)*GAMMA(n+4/3)), n = 0 .. infinity)), _C[1]*(Sum((-1/9)^n*(x-1)^(3*n)/(GAMMA(n+2/3)*GAMMA(n+1)), n = 0 .. infinity))}$