Every (complex) solvable Lie algebra admits a basis$\left[e_1\, e_2\, ..\. \, e_n\right]$ such that the subspace span$\left\{e_1\, e_2\, ..\. \, e_k\right\}$form an ideal in span$\left\{e_1\, e_2\, ..\. \, e_{k\+1}\right\}\.$ The command AscendingIdealsBasis calculates such a basis. This basis can be quite useful in a situation where the matrix exponentials of the adjoint matrices are needed.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$L≔\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''LieAlgebra''\,\mathrm{Alg1}\,\left[5\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,1\right]\,-22\right]\,\left[\left[1\,2\,2\right]\,-11\right]\,\left[\left[1\,2\,3\right]\,21\right]\,\left[\left[1\,2\,4\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,5\right]\,11\right]\,\left[\left[1\,3\,1\right]\,3\right]\,\left[\left[1\,3\,2\right]\,2\right]\,\left[\left[1\,3\,3\right]\,-4\right]\,\left[\left[1\,4\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,4\,5\right]\,-2\right]\,\left[\left[1\,5\,1\right]\,-12\right]\,\left[\left[1\,5\,2\right]\,-7\right]\,\left[\left[1\,5\,3\right]\,13\right]\,\left[\left[1\,5\,4\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,5\,5\right]\,3\right]\,\left[\left[2\,3\,1\right]\,12\right]\,\left[\left[2\,3\,2\right]\,6\right]\,\left[\left[2\,3\,3\right]\,-11\right]\,\left[\left[2\,3\,4\right]\,-1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\right]\,-6\right]\,\left[\left[2\,4\,1\right]\,19\right]\,\left[\left[2\,4\,2\right]\,9\right]\,\left[\left[2\,4\,3\right]\,-19\right]\,\left[\left[2\,4\,4\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,4\,5\right]\,-11\right]\,\left[\left[2\,5\,1\right]\,16\right]\,\left[\left[2\,5\,2\right]\,8\right]\,\left[\left[2\,5\,3\right]\,-16\right]\,\left[\left[2\,5\,5\right]\,-8\right]\,\left[\left[3\,4\,1\right]\,2\right]\,\left[\left[3\,4\,3\right]\,-1\right]\,\left[\left[3\,4\,4\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,4\,5\right]\,-4\right]\,\left[\left[3\,5\,1\right]\,-8\right]\,\left[\left[3\,5\,2\right]\,-5\right]\,\left[\left[3\,5\,3\right]\,9\right]\,\left[\left[3\,5\,4\right]\,1\right]\,\left[\left[3\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,5\,1\right]\,-7\right]\,\left[\left[4\,5\,2\right]\,-4\right]\,\left[\left[4\,5\,3\right]\,7\right]\,\left[\left[4\,5\,4\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,5\,5\right]\,2\right]\right]\right]\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(L\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; Alg1}$

$\mathrm{Query}\left(''Solvable''\right)$

$\mathrm{true}$

$B≔\mathrm{AscendingIdealsBasis}\left(\right)$

$B:=\left[\mathrm{e1}-2\mathrm{e5}\,\mathrm{e2}-2\mathrm{e4}\+3\mathrm{e5}\,\mathrm{e3}-\mathrm{e4}\,\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]$

$C≔\mathrm{BracketOfSubspaces}\left(B\left[1..3\right]\,B\left[1..4\right]\right)$

$C:=\left[-24\mathrm{e1}-14\mathrm{e2}\+26\mathrm{e3}\+2\mathrm{e4}\+6\mathrm{e5}\,60\mathrm{e1}\+32\mathrm{e2}-60\mathrm{e3}-4\mathrm{e4}-24\mathrm{e5}\,-2\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}\+4\mathrm{e3}-2\mathrm{e5}\right]$

$\mathrm{GetComponents}\left(C\,B\left[1..3\right]\,\mathrm{trueorfalse}=''on''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(B\,''AscendingIdealsBasis''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{L2}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(B\,\mathrm{alg2}\right)$

$\mathrm{L2}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-24\mathrm{e1}-14\mathrm{e2}\+26\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=10\mathrm{e1}\+5\mathrm{e2}-11\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=60\mathrm{e1}\+32\mathrm{e2}-60\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-10\mathrm{e1}-6\mathrm{e2}\+10\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-2\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}\+4\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=7\mathrm{e1}\+3\mathrm{e2}-8\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-22\mathrm{e1}-11\mathrm{e2}\+21\mathrm{e3}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{L2}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg2}$

$\mathrm{MultiplicationTable}\left(''LieTable''\right)$