The GRQuery command can be used to check various properties of metrics and other tensor and spinor fields defined on a spacetime manifold. Admissible keyword strings are "NullTetrad", "OrthonormalFrame", "OrthonormalCoframe", "OrthonormalTetrad", "PrincipalNullDirection" "RecurrentTensor".

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form GRQuery(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry); with(Tensor); in that order. It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-GRQuery.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dt}\&t\mathrm{dt}-\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}-\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g:=\mathrm{dt}\mathrm{dt}-\mathrm{dx}\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\mathrm{dy}-\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{F1}≔\left[\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{F1}:=\left[\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{F1}\,g\,''OrthonormalTetrad''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{F2}≔\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\,\mathrm{D\_t}\right]$

$\mathrm{F2}:=\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\,\mathrm{D\_t}\right]$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{F2}\,g\,''OrthonormalTetrad''\right)$

$\mathrm{false}$

$N≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\frac{1}{2}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_t}+\frac{1}{2}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_z}\,\frac{1}{2}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_t}-\frac{1}{2}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_z}\,\frac{1}{2}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_x}+\frac{1}{2}\mathrm{I}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_y}\,\frac{1}{2}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_x}-\frac{1}{2}\mathrm{I}{2}^{\frac{1}{2}}\mathrm{D\_y}\right]\right)$

$N:=\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{D\_t}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{D\_z}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{D\_t}-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{D\_z}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{D\_x}+\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\mathrm{D\_y}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{D\_x}-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\mathrm{D\_y}\right]$

$\mathrm{GRQuery}\left(N\,g\,''NullTetrad''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{g3}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{g3}:=\mathrm{dx}\mathrm{dx}+\mathrm{dy}\mathrm{dy}+\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{F3}≔\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{F3}:=\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{F3}\,\mathrm{g3}\,''OrthonormalFrame''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{\Ω3}≔\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{\Ω3}:=\left[\mathrm{dx}\,\mathrm{dy}\,\mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{\Ω3}\,\mathrm{g3}\,''OrthonormalCoframe''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{g3}≔\mathrm{evalDG}\left(2\mathrm{dx}\&s\mathrm{dy}+\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{g3}:=\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\mathrm{dy}\mathrm{dx}\+\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{F3}≔\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$\mathrm{F3}:=\left[\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$A≔\mathrm{Matrix}\left(\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\right]\right)$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{F3}\,\mathrm{g3}\,A\,''OrthonormalFrame''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{g4}≔\mathrm{DifferentialGeometry}:-\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+\frac{1}{2}\exp \left(2x\right)\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}-\left(\mathrm{dt}+\exp \left(x\right)\mathrm{dz}\right)\&s\left(\mathrm{dt}+\exp \left(x\right)\mathrm{dz}\right)\right)$

$\mathrm{g4}:=-\mathrm{dt}\mathrm{dt}-{\ⅇ}^x\mathrm{dt}\mathrm{dz}\+\mathrm{dx}\mathrm{dx}\+\mathrm{dy}\mathrm{dy}-{\ⅇ}^x\mathrm{dz}\mathrm{dt}-\frac{1}{2}{\ⅇ}^{2x}\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{W4}≔\mathrm{WeylTensor}\left(\mathrm{g4}\right)\:$

$\mathrm{PND1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{D\_t}-\mathrm{D\_y}\right)$

$\mathrm{PND1}:=\mathrm{D\_t}-\mathrm{D\_y}$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{PND1}\,\mathrm{g4}\,\mathrm{W4}\,''PrincipalNullDirection''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{PND2}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{D\_t}+\mathrm{D\_y}\right)$

$\mathrm{PND2}:=\mathrm{D\_t}\+\mathrm{D\_y}$

$\mathrm{GRQuery}\left(\mathrm{PND1}\,\mathrm{g4}\,\mathrm{W4}\,''PrincipalNullDirection''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$\mathrm{g5}≔\mathrm{evalDG}\left(t^2\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}-x^2\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}+\mathrm{dt}\&s\mathrm{dx}\right)$

$\mathrm{g5}:=\frac{1}{2}\mathrm{dt}\mathrm{dx}\+\frac{1}{2}\mathrm{dx}\mathrm{dt}\+t^2\mathrm{dx}\mathrm{dx}-x^2\mathrm{dy}\mathrm{dy}\+\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$T≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx}\&t\mathrm{dy}-\mathrm{dy}\&t\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{dx}\&t\mathrm{dz}}{x}\right)$

$T:=\mathrm{dx}\mathrm{dy}\+\frac{\mathrm{dx}\mathrm{dz}}{x}-\mathrm{dy}\mathrm{dx}$

$\mathrm{GRQuery}\left(T\,\mathrm{g5}\,''RecurrentTensor''\right)$

$\mathrm{true}\,\frac{\left(2tx-1\right)\mathrm{dx}}{x}$