A bivector is a skew-symmetric, rank 2 contravariant tensor. On a 4-dimensional manifold with solder form $\mathrm{\σ}$ there is a 1-1 correspondence between bivectors and symmetric rank 2 spinors.  This correspondence is explicitly furnished by the bivector solder forms $S$and $\bar{S}$ which are defined in terms of the solder form s by

The tensor indices of the bivector solder forms are raised and lowered with the metric $g$ defined by $\mathrm{\σ}$

The keyword argument indexlist = ind allows the user to specify the index structure for the bivector solder form. For example, with indexlist = ["con", "con", "con", "con"], the contravariant form $S^{ \mathrm{ijAB}}$ is returned.

The bivector soldering forms satisfy a large number of identities, some of which are illustrated in Examples 2 - 4.

This command is part of the DifferentialGeometry:-Tensor package, and so can be used in the form BivectorSolderForm(...) only after executing the commands with(DifferentialGeometry; with(Tensor); in that order.  It can always be used in the long form DifferentialGeometry:-Tensor:-BivectorSolderForm.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[t\,x\,y\,z\right]\,\left[\mathrm{z1}\,\mathrm{z2}\,\mathrm{w1}\,\mathrm{w2}\right]\,M\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; M}$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dt}\&t\mathrm{dt}-\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}-\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}-\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,\mathrm{-1}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,\mathrm{-1}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,\mathrm{-1}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,1\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,2\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,3\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[4\,4\right]\,\mathrm{-1}\right]\right]\right]\right)$

$F≔\left[\mathrm{D\_t}\,\mathrm{D\_x}\,\mathrm{D\_y}\,\mathrm{D\_z}\right]$

$F:=\left[\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[1\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[2\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[3\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''vector''\,M\,\left[\right]\right]\,\left[\left[\left[4\right]\,1\right]\right]\right]\right)\right]$

$\mathrm{\σ}≔\mathrm{SolderForm}\left(F\right)$

$\mathrm{\σ}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[1\,6\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,5\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,6\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[3\,5\,8\right]\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[3\,6\,7\right]\,\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[4\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[4\,6\,8\right]\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[1\,6\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,5\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,6\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[3\,5\,8\right]\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[3\,6\,7\right]\,\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[4\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[4\,6\,8\right]\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[1\,6\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,5\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,6\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[3\,5\,8\right]\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[3\,6\,7\right]\,\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[4\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[4\,6\,8\right]\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[1\,6\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,5\,8\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[2\,6\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[3\,5\,8\right]\,-\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[3\,6\,7\right]\,\frac{\mathrm{I}}{2}\sqrt{2}\right]\,\left[\left[4\,5\,7\right]\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\,\left[\left[4\,6\,8\right]\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\right]\right]\right)$

$S≔\mathrm{BivectorSolderForm}\left(\mathrm{\σ}\,''spinor''\right)$

$S:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{S1}≔\mathrm{BivectorSolderForm}\left(\mathrm{\σ}\,''spinor''\right)$

$\mathrm{S1}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''cov\_bas''\,''cov\_bas''\,''con\_vrt''\,''con\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{S2}≔\mathrm{BivectorSolderForm}\left(\mathrm{\σ}\,''spinor''\,\mathrm{indextype}\=\left[''con''\,''con''\,''cov''\,''cov''\right]\right)$

$\mathrm{S2}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_bas''\,''con\_bas''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[1\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[1\,2\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[1\,4\,5\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[1\,4\,6\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,1\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[2\,3\,5\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,3\,6\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[2\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[2\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{-1}\right]\,\left[\left[3\,1\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,1\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,5\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,2\,6\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,5\,5\right]\,\mathrm{-I}\right]\,\left[\left[3\,4\,6\,6\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,1\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,1\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,2\,6\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[4\,3\,5\,5\right]\,\mathrm{I}\right]\,\left[\left[4\,3\,6\,6\right]\,\mathrm{-I}\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{LHS}≔\mathrm{ContractIndices}\left(\mathrm{S1}\,\mathrm{S2}\,\left[\left[1\,1\right]\,\left[2\,2\right]\right]\right)$

$\mathrm{LHS}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{\δ}≔\mathrm{KroneckerDeltaSpinor}\left(''spinor''\right)$

$\mathrm{\δ}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$E≔\mathrm{RearrangeIndices}\left(\mathrm{\δ}\&t\mathrm{\δ}\,\left[\left[2\,3\right]\right]\right)$

$E:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,1\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,1\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{RHS}≔8\&mult\left(\mathrm{SymmetrizeIndices}\left(E\,\left[1\,2\right]\,''Symmetric''\right)\right)$

$\mathrm{RHS}:=\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)\,\mathrm{\_DG}\left(\left[\left[''tensor''\,M\,\left[\left[''con\_vrt''\,''con\_vrt''\,''cov\_vrt''\,''cov\_vrt''\right]\,\left[\right]\right]\right]\,\left[\left[\left[5\,5\,5\,5\right]\,8\right]\,\left[\left[5\,6\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[5\,6\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,5\,6\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,5\,6\,5\right]\,4\right]\,\left[\left[6\,6\,6\,6\right]\,8\right]\right]\right]\right)$