Let  $g \= g_{\mathrm{ij}} {\mathrm{dx}}^{i }{\mathrm{dx}}^j$ and let $h \= h^{\mathrm{ij}}\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j}$ be the inverse metric. If $\mathrm{\α}$$\= a_i {\mathrm{dx}}^i$ and $\mathrm{\β}\= b_j {\mathrm{dx}}^j$are 1-forms, then their inner product is $⟨\mathrm{\α}\, \mathrm{\β}⟩ \= h^{\mathrm{ij}}{a}_i b_j\.$ For monomial $p$-forms  ${\mathrm{\α}}_1\wedge {\mathrm{\α}}_2 \wedge ..\. \wedge {\mathrm{\α}}_p$and ${\mathrm{\β}}_1\wedge {\mathrm{\β}}_2 \wedge ..\. \wedge {\mathrm{\β}}_p \,$the inner product is given by

In the special case of forms defined on a Lie algebra with coefficients $x$ and $y$in a representation, the inner product formula for monomials becomes

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{Tensor}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[x\,y\,z\right]\,M\right)\:$

$g≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+b\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+c\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$g:=a\mathrm{dx}\mathrm{dx}+b\mathrm{dy}\mathrm{dy}+c\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{\α1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{a1}\mathrm{dx}+\mathrm{a2}\mathrm{dy}+\mathrm{a3}\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\α1}:=\mathrm{a1}\mathrm{dx}+\mathrm{a2}\mathrm{dy}+\mathrm{a3}\mathrm{dz}$

$\mathrm{\β1}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{b1}\mathrm{dx}+\mathrm{b2}\mathrm{dy}+\mathrm{b3}\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\β1}:=\mathrm{b1}\mathrm{dx}+\mathrm{b2}\mathrm{dy}+\mathrm{b3}\mathrm{dz}$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{\α1}\,\mathrm{\β1}\right)$

$\frac{\mathrm{a1}\mathrm{b1}}{a}\+\frac{\mathrm{a2}\mathrm{b2}}{b}\+\frac{\mathrm{a3}\mathrm{b3}}{c}$

$\mathrm{g2}≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{dx}\&t\mathrm{dx}+b\mathrm{dy}\&t\mathrm{dy}+c\mathrm{dz}\&t\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{g2}:=a\mathrm{dx}\mathrm{dx}+b\mathrm{dy}\mathrm{dy}+c\mathrm{dz}\mathrm{dz}$

$\mathrm{\Omega }≔\mathrm{evalDG}\left(\left[\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\&w\mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right]\right)$

$\mathrm{\Ω}:=\left[\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}\,\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dz}\,\mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{dz}\right]$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(\mathrm{g2}\,\mathrm{\Omega }\,\mathrm{\Omega }\right)$

$\mathrm{\α2}≔\mathrm{evalDG}\left(2\mathrm{dx}\&w\mathrm{dy}+\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\α2}:=2\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dy}+\mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{dz}$

$\mathrm{\β2}≔\mathrm{evalDG}\left(3\mathrm{dx}\&w\mathrm{dz}+4\mathrm{dy}\&w\mathrm{dz}\right)$

$\mathrm{\β2}:=3\mathrm{dx}\bigwedge \mathrm{dz}+4\mathrm{dy}\bigwedge \mathrm{dz}$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(\mathrm{g2}\,\mathrm{\α2}\,\mathrm{\α2}\right)$

$\frac{4}{ab}\+\frac{1}{bc}$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''so(4)''\,\mathrm{so4}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so4}$

$\mathrm{DGsetup}\left(\left[\mathrm{x1}\,\mathrm{x2}\,\mathrm{x3}\,\mathrm{x4}\right]\,V\right)$

$\mathrm{frame\; name:\; V}$

$\mathrm{\rho }≔\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{so4}\,\mathrm{representationspace}=V\right)$

$\mathrm{\ρ}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\left[\begin{array}{cccc}0& \mathrm{-1}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e2}\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e3}\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e4}\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \mathrm{-1}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e5}\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]\right]\,\left[\mathrm{e6}\,\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{-1}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\right]\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{\rho }\,\mathrm{so4V}\,\left[\mathrm{O}\right]\,\left[o\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra\; with\; coefficients:\; so4V}$

$g≔\mathrm{KillingForm}\left(\mathrm{so4V}\right)$

$g:=-4\mathrm{o1}\mathrm{o1}-4\mathrm{o2}\mathrm{o2}-4\mathrm{o3}\mathrm{o3}-4\mathrm{o4}\mathrm{o4}-4\mathrm{o5}\mathrm{o5}-4\mathrm{o6}\mathrm{o6}$

$h≔\mathrm{InverseMetric}\left(g\right)$

$h:=-\frac{1}{4}\mathrm{O1}\mathrm{O1}-\frac{1}{4}\mathrm{O2}\mathrm{O2}-\frac{1}{4}\mathrm{O3}\mathrm{O3}-\frac{1}{4}\mathrm{O4}\mathrm{O4}-\frac{1}{4}\mathrm{O5}\mathrm{O5}-\frac{1}{4}\mathrm{O6}\mathrm{O6}$

$\mathrm{gV}≔\mathrm{evalDG}\left(\mathrm{dx1}\&t\mathrm{dx1}+\mathrm{dx2}\&t\mathrm{dx2}+\mathrm{dx3}\&t\mathrm{dx3}+\mathrm{dx4}\&t\mathrm{dx4}\right)$

$\mathrm{gV}:=\mathrm{dx1}\mathrm{dx1}+\mathrm{dx2}\mathrm{dx2}+\mathrm{dx3}\mathrm{dx3}+\mathrm{dx4}\mathrm{dx4}$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,a\mathrm{x1}+b\mathrm{x2}\,c\mathrm{x1}+d\mathrm{x2}\right)$

$ac\+bd$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x1}\mathrm{o1}\,\mathrm{x1}\mathrm{o3}\right)$

$0$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x2}\mathrm{o1}\,\mathrm{x1}\mathrm{o1}\right)$

$0$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x2}\mathrm{o2}\,\mathrm{x2}\mathrm{o2}\right)$

$-\frac{1}{4}$

$\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{x2}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}\,\mathrm{x2}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}\right)$

$\frac{1}{16}$

$\mathrm{\α3}≔\mathrm{evalDG}\left(a\mathrm{x2}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o2}+b\mathrm{x4}\mathrm{o1}\&w\mathrm{o3}+cx\mathrm{o2}\&w\mathrm{o5}\right)$

$\mathrm{\α3}:=a\mathrm{x2}\mathrm{o1}\bigwedge \mathrm{o2}+b\mathrm{x4}\mathrm{o1}\bigwedge \mathrm{o3}+cx\mathrm{o2}\bigwedge \mathrm{o5}$

$\mathrm{sqrt}\left(\mathrm{FormInnerProduct}\left(g\,\mathrm{gV}\,\mathrm{\α3}\,\mathrm{\α3}\right)\right)$

$\frac{1}{4}\sqrt{a^2\+b^2}$