$R≔\mathrm{VectorField}\left(x\mathrm{D}\left[y\right]-y\mathrm{D}\left[x\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\right]\right)$

$R≔-y\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆx}\right)+x\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆy}\right)$

$\mathrm{Tx}≔\mathrm{VectorField}\left(\mathrm{D}\left[x\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\right]\right)$

$\mathrm{Tx}≔\frac{\ⅆ}{\ⅆx}$

$\mathrm{Ty}≔\mathrm{VectorField}\left(\mathrm{D}\left[y\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\right]\right)$

$\mathrm{Ty}≔\frac{\ⅆ}{\ⅆy}$

$\mathrm{Tx}+\mathrm{Ty}$

$\frac{\ⅆ}{\ⅆx}+\frac{\ⅆ}{\ⅆy}$

$-R$

$y\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆx}\right)-x\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆy}\right)$

$x\mathrm{Tx}+y\mathrm{Ty}$

$x\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆx}\right)+y\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆy}\right)$

$R+y\left[0\right]\mathrm{Tx}-x\left[0\right]\mathrm{Ty}$

$\left(y_0-y\right)\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆx}\right)+\left(-x_0+x\right)\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆy}\right)$

$\mathrm{\omega }\left[x\right]≔\mathrm{OneForm}\left(d\left[x\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\,z\right]\right)$

${\mathrm{\omega }}_x≔\mathrm{dx}$

$\mathrm{\omega }\left[y\right]≔\mathrm{OneForm}\left(d\left[y\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\,z\right]\right)$

${\mathrm{\omega }}_y≔\mathrm{dy}$

$\mathrm{\omega }\left[z\right]≔\mathrm{OneForm}\left(d\left[z\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\,z\right]\right)$

${\mathrm{\omega }}_z≔\mathrm{dz}$

$x^2\mathrm{\omega }\left[z\right]+x\mathrm{\omega }\left[y\right]+\mathrm{\omega }\left[x\right]$

$x^2\mathrm{dz}+x\mathrm{dy}+\mathrm{dx}$

$\mathrm{add}\left(a\left[i\right]\mathrm{\omega }\left[i\right]\,i\mathbf{in}\left[x\,y\,z\right]\right)$

$a_x\mathrm{dx}+a_y\mathrm{dy}+a_z\mathrm{dz}$

$X≔\mathrm{VectorField}\left(x\left(x-1\right)\mathrm{D}\left[x\right]+y\mathrm{D}\left[y\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\right]\right)$

$X≔x\left(x-1\right)\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆx}\right)+y\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆy}\right)$

$Y≔\mathrm{VectorField}\left(\left(x^2-x\right)\mathrm{D}\left[x\right]+y\mathrm{D}\left[y\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\right]\right)$

$Y≔\left(x^2-x\right)\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆx}\right)+y\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆy}\right)$

$\mathrm{evalb}\left(X=Y\right)$

$\mathrm{false}$

$\mathrm{evalb}\left(\mathrm{expand}\left(X\right)=\mathrm{expand}\left(Y\right)\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{\θ1}≔\mathrm{OneForm}\left(d\left[x\right]\,\mathrm{space}=\left[x\right]\right)$

$\mathrm{\θ1}≔\mathrm{dx}$

$\mathrm{\θ2}≔\mathrm{OneForm}\left(d\left[x\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\right]\right)$

$\mathrm{\θ2}≔\mathrm{dx}$

$\mathrm{evalb}\left(\mathrm{\θ1}=\mathrm{\θ2}\right)$

$\mathrm{false}$

$X≔\mathrm{VectorField}\left(x^2\mathrm{D}\left[z\right]+\mathrm{D}\left[y\right]\,\mathrm{space}=\left[x\,y\,z\right]\right)$

$X≔\frac{\ⅆ}{\ⅆy}+x^2\left(\frac{\ⅆ}{\ⅆz}\right)$

$\left[X\left[x\right]\,X\left[y\right]\,X\left[z\right]\right]$

$\left[0\,1\,x^2\right]$