Let g be a Lie algebra and h a Cartan subalgebra. Let $\left\{h_1\, h_2\, ..\. \, h_m\right\}$be a basis for $\mathrm{\𝔥}$. A root for g with respect to this basis is a non-zero $m$-tuple of complex numbers ${\mathrm{\α}}_{}\= \left[{\mathrm{\α}}_1\, {\mathrm{\α}}_2\, ..\. \,{\mathrm{\α}}_m\right]$such that $\mathrm{ad}\left(h_i\right)\left(x\right) \= {\mathrm{\α}}_i$ $x$  (*) for some $x\in \mathrm{\𝔤}$.

The set of $x\in \mathrm{\𝔤}\mathit{ }$which satisfy (*) is called the root space of g defined by ${\mathrm{\α}}_{}$and denoted by $R_{{\mathrm{\α}}_{}} \.$A basic theorem in the structure theorem of semi-simple Lie algebras asserts that the root spaces $R_{{\mathrm{\α}}_{}}$are 1-dimensional.

The first call sequence calculates the root space $R_{{\mathrm{\α}}_{}}$for a given root. If ${\mathrm{\α}}_{}$is not a root, then the zero vector (in $\mathrm{\𝔤}$) is returned.

The second calling sequence simply returns the table entry in the table of root spaces corresponding to the root ${\mathrm{\α}}_{}$.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''su(4)''\,\mathrm{su4}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left['U'\,'\mathrm{\eta }'\right]\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e15}\right]\=-2\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=2\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=2\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=2\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e12}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e13}\right]\=2\mathrm{e1}-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e15}\right]\=2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e14}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{Ui11}\,\mathrm{Ui22}\,\mathrm{Ui33}\,\mathrm{U12}\,\mathrm{U23}\,\mathrm{U34}\,\mathrm{U13}\,\mathrm{U24}\,\mathrm{U14}\,\mathrm{Ui12}\,\mathrm{Ui23}\,\mathrm{Ui34}\,\mathrm{Ui13}\,\mathrm{Ui24}\,\mathrm{Ui14}\right]\,\left[\mathrm{etai11}\,\mathrm{etai22}\,\mathrm{etai33}\,\mathrm{\η12}\,\mathrm{\η23}\,\mathrm{\η34}\,\mathrm{\η13}\,\mathrm{\η24}\,\mathrm{\η14}\,\mathrm{etai12}\,\mathrm{etai23}\,\mathrm{etai34}\,\mathrm{etai13}\,\mathrm{etai24}\,\mathrm{etai14}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; su4}$

$\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{su4}\right)$

$\mathrm{CSA}≔\left[\mathrm{Ui11}\,\mathrm{Ui22}\,\mathrm{Ui33}\right]$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{Ui11}\,\mathrm{Ui22}\,\mathrm{Ui33}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA}\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$X≔\mathrm{RootSpace}\left(⟨\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}⟩\,\mathrm{CSA}\right)$

$X:=\mathrm{U34}-\mathrm{I}\mathrm{Ui34}$

$B≔\left[\mathrm{seq}\left(\mathrm{LieBracket}\left(h\,X\right)\,h=\mathrm{CSA}\right)\right]$

$B:=\left[\mathrm{I}\mathrm{U34}\+\mathrm{Ui34}\,\mathrm{I}\mathrm{U34}\+\mathrm{Ui34}\,2\mathrm{I}\mathrm{U34}\+2\mathrm{Ui34}\right]$

$\mathrm{GetComponents}\left(B\,\left[X\right]\right)$

$\left[\left[\mathrm{I}\right]\,\left[\mathrm{I}\right]\,\left[2\mathrm{I}\right]\right]$

$\mathrm{RootSpace}\left(⟨\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,\mathrm{I}⟩\,\mathrm{CSA}\right)$

$0\mathrm{Ui11}$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{RootSpaceDecomposition}\left(\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U14}-\mathrm{I}\mathrm{Ui14}\,\left[-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{U12}\+\mathrm{I}\mathrm{Ui12}\,\left[\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U24}-\mathrm{I}\mathrm{Ui24}\,\left[\mathrm{I}\,0\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U13}-\mathrm{I}\mathrm{Ui13}\,\left[0\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U23}-\mathrm{I}\mathrm{Ui23}\,\left[-\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U34}\+\mathrm{I}\mathrm{Ui34}\,\left[0\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U23}\+\mathrm{I}\mathrm{Ui23}\,\left[-\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U24}\+\mathrm{I}\mathrm{Ui24}\,\left[-2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U14}\+\mathrm{I}\mathrm{Ui14}\,\left[-\mathrm{I}\,0\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U13}\+\mathrm{I}\mathrm{Ui13}\,\left[\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{U34}-\mathrm{I}\mathrm{Ui34}\,\left[\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{U12}-\mathrm{I}\mathrm{Ui12}\right]\right)$

$\mathrm{RootSpace}\left(⟨\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,2\mathrm{I}⟩\,\mathrm{RSD}\right)$

$\mathrm{U34}-\mathrm{I}\mathrm{Ui34}$