Let g be a semi-simple Lie algebra. A Borel subalgebra b is any maximal solvable subalgebra. A parabolic subalgebra p is any subalgebra containing a Borel subalgebra. Alternatively, a subalgebra p is parabolic if its nilradical is the orthogonal complement of p with respect to the Killing form $B\.$

This Query command returns true if the subalgebra p defined by the vectors $P$ satisfies$\mathrm{nil}\left(\mathrm{\𝔭}\right) \= {\mathrm{\𝔭}}^{\perp }\.$

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$M≔\mathrm{map}\left(\mathrm{Matrix}\,\left[\left[\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,-1\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,-1\right]\right]\,\left[\left[0\,1\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[1\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[1\,0\,0\right]\right]\,\left[\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,0\right]\,\left[0\,1\,0\right]\right]\right]\right)$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{LieAlgebraData}\left(M\,\mathrm{sl3}\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e2}\+\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{\ω11}\,\mathrm{\ω22}\,\mathrm{\ω12}\,\mathrm{\ω13}\,\mathrm{\ω21}\,\mathrm{\ω23}\,\mathrm{\ω31}\,\mathrm{\ω32}\right]\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; sl3}$

$\mathrm{P1}≔\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\right]$

$\mathrm{P1}:=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{P1}\,''Parabolic''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{P2}≔\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E32}\right]$

$\mathrm{P2}:=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E32}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{P2}\,''Parabolic''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{P3}≔\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E32}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E22}\right]$

$\mathrm{P3}:=\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E32}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E22}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{P3}\,''Subalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{P3}\,''Parabolic''\right)$

$\mathrm{false}$