Let g be a Lie algebra and h a Cartan subalgebra. Let $\left\{h_1\, h_2\, ..\. \, h_m\right\}$be a basis for $\mathrm{\𝔥}$. A root for g with respect to this basis is a non-zero $m$-tuple of complex numbers ${\mathrm{\α}}_{ } \= \left[{\mathrm{\α}}_1\, {\mathrm{\α}}_2\, ..\. \, {\mathrm{\α}}_m\right]$such that $\mathrm{ad}\left(h_i\right)\left(x\right) \= {\mathrm{\α}}_i$ $x$  (*)  for some $x\in \mathrm{\𝔤}$.

The set of  $x\in \mathrm{\𝔤}\mathit{ }$which satisfy (*) is called the root space of g defined by ${\mathrm{\α}}_{}$and denoted by $R_{{\mathrm{\α}}_{}}\.$ A basic theorem in the structure theory of semi-simple Lie algebras asserts that the root spaces  $R_{{\mathrm{\α}}_{}}$are 1-dimensional.

The first calling sequence calculates the root ${\mathrm{\α}}_{}$ for the given root space $X$. If $X$is not a root space, then an empty vector is returned.

The second calling sequence simply returns the indices, as column vectors, for the table defining the root space decomposition.

$\mathrm{with}\left(\mathrm{DifferentialGeometry}\right)\:$$\mathrm{with}\left(\mathrm{LieAlgebras}\right)\:$

$\mathrm{LD}≔\mathrm{SimpleLieAlgebraData}\left(''su(4)''\,\mathrm{su4}\,\mathrm{labelformat}=''gl''\,\mathrm{labels}=\left['E'\,'\mathrm{\theta }'\right]\right)$

$\mathrm{LD}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=-2\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-2\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e13}\right]\=-2\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e15}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=-2\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e15}\right]\=-2\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e15}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e14}\,\mathrm{e15}\right]\=-\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{Ei11}\,\mathrm{Ei22}\,\mathrm{Ei33}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E34}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E24}\,\mathrm{E14}\,\mathrm{Ei12}\,\mathrm{Ei23}\,\mathrm{Ei34}\,\mathrm{Ei13}\,\mathrm{Ei24}\,\mathrm{Ei14}\right]\,\left[\mathrm{thetai11}\,\mathrm{thetai22}\,\mathrm{thetai33}\,\mathrm{\θ12}\,\mathrm{\θ23}\,\mathrm{\θ34}\,\mathrm{\θ13}\,\mathrm{\θ24}\,\mathrm{\θ14}\,\mathrm{thetai12}\,\mathrm{thetai23}\,\mathrm{thetai34}\,\mathrm{thetai13}\,\mathrm{thetai24}\,\mathrm{thetai14}\right]$

$\mathrm{DGsetup}\left(\mathrm{LD}\right)$

$\mathrm{Lie\; algebra:\; su4}$

$\mathrm{StandardRepresentation}\left(\mathrm{su4}\right)$

$\mathrm{CSA}≔\left[\mathrm{Ei11}\,\mathrm{Ei22}\,\mathrm{Ei33}\right]$

$\mathrm{CSA}:=\left[\mathrm{Ei11}\,\mathrm{Ei22}\,\mathrm{Ei33}\right]$

$\mathrm{Query}\left(\mathrm{CSA}\,''CartanSubalgebra''\right)$

$\mathrm{true}$

$\mathrm{LieAlgebraRoots}\left(\mathrm{E14}-\mathrm{I}\mathrm{Ei14}\,\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{RootSpace}\left(⟨-\mathrm{I}\,0\,-\mathrm{I}⟩\,\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{E14}-\mathrm{I}\mathrm{Ei14}$

$\mathrm{RSD}≔\mathrm{RootSpaceDecomposition}\left(\mathrm{CSA}\right)$

$\mathrm{RSD}:=\mathrm{table}\left(\left[\left[-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E24}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei24}\,\left[0\,\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E34}-\mathrm{I}\mathrm{Ei34}\,\left[0\,-\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E34}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei34}\,\left[\mathrm{I}\,-2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E23}-\mathrm{I}\mathrm{Ei23}\,\left[-\mathrm{I}\,2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E23}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei23}\,\left[\mathrm{I}\,0\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E14}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei14}\,\left[-\mathrm{I}\,0\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E14}-\mathrm{I}\mathrm{Ei14}\,\left[\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E24}-\mathrm{I}\mathrm{Ei24}\,\left[-2\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{E12}-\mathrm{I}\mathrm{Ei12}\,\left[\mathrm{I}\,\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E13}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei13}\,\left[-\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,\mathrm{I}\right]\=\mathrm{E13}-\mathrm{I}\mathrm{Ei13}\,\left[2\mathrm{I}\,-\mathrm{I}\,0\right]\=\mathrm{E12}\+\mathrm{I}\mathrm{Ei12}\right]\right)$

$\mathrm{LieAlgebraRoots}\left(\mathrm{RSD}\right)$