The Lie algebras $A\,B\, C\, \mathrm{D}\, F\, G$are all simple Lie algebras. The $\mathrm{Other}$are classical matrix algebras which are often used in Lie theory and differential geometry.

The precise definitions and examples of each of these Lie algebras are found in SimpleLieAlgebraDataDetails .

The command StandardRepresentation generates the standard matrix representations of these algebras.

Cartan matrices, Dynkin diagram, Satake diagrams, positive roots can easily be found for each of the simple Lie algebra. See also SimpleLieAlgebraProperties .

Subalgebras of any of these Lie algebras can be calculate using the command MatrixSubalgebras.

 Two versions of the Lie algebras $\mathrm{su}\left(p\, q\right)$and $\mathrm{so}\left(p\, q\right)$are available, corresponding the choices

The keyword arguments labelformat, labels  allow for the labeling of the basis of the abstract Lie algebra which characterizes the basis elements in terms of their standard matrix elements. See LieAlgebraData, DGsetup.

with(DifferentialGeometry): with(LieAlgebras):

LD1 := SimpleLieAlgebraData("sl(3)", alg1, labelformat = "gl", labels = ['E', 'theta']);

$\mathrm{LD1}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-2\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=-2\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e2}\right]\,\left[\mathrm{E11}\,\mathrm{E22}\,\mathrm{E12}\,\mathrm{E13}\,\mathrm{E21}\,\mathrm{E23}\,\mathrm{E31}\,\mathrm{E32}\right]\,\left[\mathrm{\θ11}\,\mathrm{\θ22}\,\mathrm{\θ12}\,\mathrm{\θ13}\,\mathrm{\θ21}\,\mathrm{\θ23}\,\mathrm{\θ31}\,\mathrm{\θ32}\right]$

DGsetup(LD1);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; alg1}$

MultiplicationTable("LieTable");

StandardRepresentation(alg1);

LD2a := SimpleLieAlgebraData("so(3, 1)", so31a, labelformat = "gl", labels = ['X', 'zeta']);

$\mathrm{LD2a}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\right]\,\left[\mathrm{X11}\,\mathrm{X13}\,\mathrm{X14}\,\mathrm{X23}\,\mathrm{X24}\,\mathrm{X34}\right]\,\left[\mathrm{\ζ11}\,\mathrm{\ζ13}\,\mathrm{\ζ14}\,\mathrm{\ζ23}\,\mathrm{\ζ24}\,\mathrm{\ζ34}\right]$

DGsetup(LD2a);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so31a}$

MultiplicationTable("LieTable");

LD2b := SimpleLieAlgebraData("so(3, 1)", so31b, labelformat = "gl", labels = ['Y', 'xi'], version = 2);

$\mathrm{LD2b}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e3}\right]\,\left[\mathrm{Y12}\,\mathrm{Y13}\,\mathrm{Y23}\,\mathrm{Y14}\,\mathrm{Y24}\,\mathrm{Y34}\right]\,\left[\mathrm{\ξ12}\,\mathrm{\ξ13}\,\mathrm{\ξ23}\,\mathrm{\ξ14}\,\mathrm{\ξ24}\,\mathrm{\ξ34}\right]$

DGsetup(LD2b);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; so31b}$

MultiplicationTable("LieTable");

with(LinearAlgebra):

Qa := Matrix([[0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]);

Qb := Matrix([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, -1]]);

P := Matrix([[0,0,1/sqrt(2), 1/sqrt(2)],[0,0,1/sqrt(2), -1/sqrt(2)], [0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0]]);

Transpose(P).Qa.P;

A := StandardRepresentation(so31a);

B := StandardRepresentation(so31b);

A1 := [seq(P^(-1).a.P, a = A)];

C := GetComponents(A1, B);

$C:=\left[\left[0\,0\,0\,0\,0\,1\right]\,\left[0\,0\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\right]\,\left[0\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\,0\right]\,\left[0\,0\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\,-\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\right]\,\left[0\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\,-\frac{1}{2}\sqrt{2}\,0\,0\right]\,\left[-1\,0\,0\,0\,0\,0\right]\right]$

Phi := Transformation(so31a, so31b, Transpose(Matrix(C)));

$\mathrm{\Φ}:=\left[\left[\mathrm{X11}\,\mathrm{Y34}\right]\,\left[\mathrm{X13}\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y23}\+\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y24}\right]\,\left[\mathrm{X14}\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y13}\+\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y14}\right]\,\left[\mathrm{X23}\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y23}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y24}\right]\,\left[\mathrm{X24}\,\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y13}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\mathrm{Y14}\right]\,\left[\mathrm{X34}\,-\mathrm{Y12}\right]\right]$

Query(Phi, "Homomorphism");

$\mathrm{true}$

LD3a := SimpleLieAlgebraData("g(2, Split)", g2a, version = 1);

$\mathrm{LD3a}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e4}\right]\=-3\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e5}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=3\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=-2\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=3\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e12}\right]\=-\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=-3\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e4}\right]\=2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e4}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e5}\right]\=2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e6}\right]\=-3\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e11}\right]\=-3\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=-3\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=3\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e1}-3\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=2\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e1}-3\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e1}-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=-\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e13}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e1}-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e11}\right]\=2\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e12}\right]\=-3\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\right]\=-3\mathrm{e14}\right]$

DGsetup(LD3a, ['h1', 'h2', 'x1', 'x2', 'x3', 'x4', 'x5', 'x6', 'y1', 'y2', 'y3', 'y4', 'y5', 'y6'], ['omega']);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; g2a}$

RootSpaceDecomposition([h1, h2]);

$\mathrm{table}\left(\left[\left[0\,-1\right]\=\mathrm{y6}\,\left[3\,-2\right]\=\mathrm{y2}\,\left[-1\,1\right]\=\mathrm{x3}\,\left[-1\,0\right]\=\mathrm{y4}\,\left[0\,1\right]\=\mathrm{x6}\,\left[1\,0\right]\=\mathrm{x4}\,\left[3\,-1\right]\=\mathrm{x5}\,\left[1\,-1\right]\=\mathrm{y3}\,\left[-3\,2\right]\=\mathrm{x2}\,\left[-2\,1\right]\=\mathrm{y1}\,\left[-3\,1\right]\=\mathrm{y5}\,\left[2\,-1\right]\=\mathrm{x1}\right]\right)$

LD3b := SimpleLieAlgebraData("g(2, Split)", g2b, version = 2);

$\mathrm{LD3b}:=\left[\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e2}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e3}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e7}\right]\=-\frac{1}{4}\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e8}\right]\=-\frac{3}{4}\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e9}\right]\=\frac{3}{2}\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e10}\right]\=-\frac{3}{2}\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e11}\right]\=3\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e12}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e13}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e1}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e3}\right]\=\mathrm{e1}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e7}\right]\=-\frac{3}{4}\mathrm{e10}\+\frac{1}{2}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e8}\right]\=\frac{1}{4}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e9}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e11}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e12}\right]\=\frac{3}{2}\mathrm{e11}-\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e13}\right]\=-2\mathrm{e7}-3\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e2}\,\mathrm{e14}\right]\=-\frac{3}{2}\mathrm{e9}\+\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e7}\right]\=\frac{3}{4}\mathrm{e9}\+\frac{1}{2}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e8}\right]\=-\frac{1}{4}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e10}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e11}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e7}\+3\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e13}\right]\=\frac{3}{2}\mathrm{e11}\+\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e3}\,\mathrm{e14}\right]\=-\frac{3}{2}\mathrm{e10}-\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e5}\right]\=\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e6}\right]\=-\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e7}\right]\=-\frac{1}{4}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e8}\right]\=\frac{1}{4}\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e10}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e11}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e13}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e4}\,\mathrm{e14}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e6}\right]\=\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e7}\right]\=\frac{1}{4}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e8}\right]\=-\frac{1}{4}\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e9}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e11}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e12}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e5}\,\mathrm{e14}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e7}\right]\=\frac{1}{4}\mathrm{e14}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e8}\right]\=-\frac{1}{4}\mathrm{e11}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e9}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e10}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e10}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e9}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e8}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e12}\right]\=-\frac{1}{2}\mathrm{e13}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e13}\right]\=\frac{1}{2}\mathrm{e12}\,\left[\mathrm{e6}\,\mathrm{e14}\right]\=-\mathrm{e7}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e12}\right]\=-2\mathrm{e3}\+3\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e13}\right]\=-2\mathrm{e2}-3\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e7}\,\mathrm{e14}\right]\=\mathrm{e1}-3\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e9}\right]\=-\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e10}\right]\=\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e11}\right]\=\mathrm{e1}\+\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e12}\right]\=\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e8}\,\mathrm{e13}\right]\=-\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e10}\right]\=-2\mathrm{e1}\+2\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e11}\right]\=-2\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e9}\,\mathrm{e14}\right]\=-2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e11}\right]\=-2\mathrm{e4}\,\left[\mathrm{e10}\,\mathrm{e14}\right]\=-2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e12}\right]\=2\mathrm{e2}\,\left[\mathrm{e11}\,\mathrm{e13}\right]\=2\mathrm{e3}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e13}\right]\=2\mathrm{e1}\+6\mathrm{e6}\,\left[\mathrm{e12}\,\mathrm{e14}\right]\=4\mathrm{e2}-6\mathrm{e5}\,\left[\mathrm{e13}\,\mathrm{e14}\right]\=-4\mathrm{e3}-6\mathrm{e4}\right]$

DGsetup(LD3b, ['t1', 't2', 't3', 't4', 't5', 't6', 'p1', 'p2', 'p3', 'p4', 'p5', 'p6', 'p7', 'p8'], ['omega']);

$\mathrm{Lie\; algebra:\; g2b}$

T := [t1, t2, t3, t4, t5, t6];

$T:=\left[\mathrm{t1}\,\mathrm{t2}\,\mathrm{t3}\,\mathrm{t4}\,\mathrm{t5}\,\mathrm{t6}\right]$

P := [p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8];

$P:=\left[\mathrm{p1}\,\mathrm{p2}\,\mathrm{p3}\,\mathrm{p4}\,\mathrm{p5}\,\mathrm{p6}\,\mathrm{p7}\,\mathrm{p8}\right]$

Query(T, P, "CartanDecomposition");

$\mathrm{true}$