JacobiZeta is defined by:

FunctionAdvisor(definition, JacobiZeta);

$\left[\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,k\right)\=\mathrm{Diff}\left(\ln \left(\mathrm{JacobiTheta4}\left(\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\π}z}{\mathrm{EllipticK}\left(k\right)}\,\mathrm{EllipticNome}\left(k\right)\right)\right)\,z\right)\,\mathrm{with\; no\; restrictions\; on}\left(z\,k\right)\right]$

which is essentially the logarithmic derivative of JacobiTheta4.

JacobiZeta(z,k) is a periodic function of $z$ with period $2\mathrm{EllipticK}\left(k\right)$

$\mathrm{JacobiZeta}\left(1.0\,0.5\right)$

$0.06347769531$

$\mathrm{FunctionAdvisor}\left(\mathrm{special\_values}\,\mathrm{JacobiZeta}\right)$

$\left[\mathrm{JacobiZeta}\left(-z\,k\right)=-\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,k\right)\,\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,-k\right)=\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,k\right)\,\mathrm{JacobiZeta}\left(0\,k\right)=0\,\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,0\right)=0\,\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,1\right)=\tanh \left(z\right)\,\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,\mathrm{\infty }\right)=\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }\mathrm{I}\,\left[\mathrm{JacobiZeta}\left(2\mathrm{\_n1}\mathrm{EllipticK}\left(k\right)\,k\right)=0\,\mathrm{\_n1}::\'\mathrm{integer}\'\right]\right]$

$\mathrm{FunctionAdvisor}\left(\mathrm{sum\_form}\,\mathrm{JacobiZeta}\right)$

$\left[\mathrm{JacobiZeta}\left(z\,k\right)=\sum _{\mathrm{\_k1}=1}^{\mathrm{\infty }}\left(-\frac{2\mathrm{\pi }{\mathrm{EllipticNome}\left(k\right)}^{\mathrm{\_k1}}\sin \left(\frac{\mathrm{\_k1}\mathrm{\pi }z}{\mathrm{EllipticK}\left(k\right)}\right)}{\mathrm{EllipticK}\left(k\right)\left({\mathrm{EllipticNome}\left(k\right)}^{2\mathrm{\_k1}}-1\right)}\right)\,\mathrm{with\; no\; restrictions\; on}\left(z\,k\right)\right]$