状態空間行列の相似変換

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DynamicSystems[SSTransformation] - 状態空間行列の相似変換

	使い方
	SSTransformation(Amat, Bmat, Cmat, Dmat, opts )

パラメータ

Amat	-	Matrix; 状態空間表現のシステム行列
Bmat	-	Matrix; 状態空間表現の入力行列
Cmat	-	Matrix; 状態空間表現の出力行列
Dmat	-	(optional) Matrix; 状態空間表現のダイレクトスルー行列。指定されていない場合は、適切な次元のゼロ行列がデフォルトで使用されます (出力に D が必要な場合)。
opts	-	(optional) option = value の形式の方程式; SSTransformation コマンドのオプション値

説明

•	SSTransformation コマンドは状態空間行列に対し、選択された相似変換を実行します。

•	相似変換には ControlStaircase, ObserveStaircase, ControlCanon, ObserveCanon, ModalCanon, および Balanced があります。実行する変換は名前付きの form オプションで指定します。

•	状態および出力方程式およびで定義される状態空間システムの場合、算出された相似変換行列 T は入力の状態空間表現を以下のように変換します：

x[new](t) = Tinv . x(t)

A[new] = Tinv . A . T

B[new] = Tinv . B

C[new] = C . T

D[new] = D

上記式で、Tinv は T の逆行列を表します。

•	ControlStaircase 変換はシステム行列 A を下三角の階段形に変換します。

A = (Matrix(2, 2, {(1, 1) = A[uc], (1, 2) = 0, (2, 1) = A[2, 1], (2, 2) = A[c]}))

B = (Vector(2, {(1) = 0, (2) = B[c]}))

部分行列がそれぞれ、の可制御サブシステムになります。の次元には、output オプション r が割り当てられます。

•	ObserveStaircase 変換はシステム行列 A を上三角の階段形に変換します。

A = (Matrix(2, 2, {(1, 1) = A[uo], (1, 2) = A[1, 2], (2, 1) = 0, (2, 2) = A[o]}))

B = (Vector(2, {(1) = B[uo], (2) = B[o]}))

部分行列がそれぞれ、の可観測サブシステムになります。の次元には、output オプション r が割り当てられます。

•	ControlCanon 変換は入力システムを可制御標準形に変換します。この場合のシステム行列 A は以下のような形になります。

A = (Matrix(4, 4, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 1, (1, 3) = 0, (1, 4) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = 0, (2, 3) = 1, (2, 4) = 0, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 0, (3, 4) = 1, (4, 1) = -a[0], (4, 2) = -a[1], (4, 3) = -a[2], (4, 4) = -a[3]}))

が n x n のシステム行列 A: s^n + a[n-1]*s^(n-1) + ... + a[0] の DynamicSystems[CharacteristicPolynomial] の係数になります。ControlCanon 変換は可制御システムに対してのみ適用できます。

•	ObserveCanon 変換は入力システムを可観測標準形に変換します。この場合のシステム行列 A は以下のような形になります。

A = (Matrix(4, 4, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 0, (1, 3) = 0, (1, 4) = -a[0], (2, 1) = 1, (2, 2) = 0, (2, 3) = 0, (2, 4) = -a[1], (3, 1) = 0, (3, 2) = 1, (3, 3) = 0, (3, 4) = -a[2], (4, 1) = 0, (4, 2) = 0, (4, 3) = 1, (4, 4) = -a[3]}))

が n x n のシステム行列 A: s^n + a[n-1]*s^(n-1) + ... + a[0] の DynamicSystems[CharacteristicPolynomial] の係数になります。ObserveCanon 変換は、可観測システムに対してのみ適用できます。可観測標準形は随伴標準形とも呼ばれます。

•	ModalCanon 変換は、入力システムをブロック対角のシステム行列 A を持つモード標準形に変換します。変換された A のブロック対角の各要素は、与えられた A における一意な固有値で構成されます。1 x 1 のブロックの場合、固有値は実数で、2 x 2 の場合、固有値は形式の複素数になります。行列で、およびはそれぞれ、複素固有値の実部および虚部を表します。ModalCanon 変換は、一意な固有値を持つ (つまり、同じ固有値を 2 つと持たない) 数値システムに対してのみ適用できます。モード標準形は対角標準形とも呼ばれます。

•	Balanced 変換は、システムの可制御グラミアンおよび可観測グラミアンが対角で互いに等価となるように入力システムを変換します。Balanced 変換は、制御可能かつ観測可能な安定したシステムに対してのみ適用できます。

オプション

opts 引数は option = value 形式で指定する任意の引数で、option には以下に説明されている名前のいずれかを指定できます。これらの引数はキーワードパラメータで、方程式の左辺がキーワード、右辺がその値です。各キーワードパラメータにはパラメータが渡されない場合に使用する初期値が割り当てられています。

以下は各キーワードパラメータの説明です。各説明の 1 行目は左辺にキーワード、右辺に値の型で引数の形式を示しています。真偽 (truefalse) 型の場合、キーワードのみを渡すことは真 (keyword = true) を渡すことに相当します。

•	form = ControlStaircase, ObserveStaircase, ControlCanon, ObserveCanon, ModalCanon, Balanced

変換後の行列の形を指定します。デフォルトは ControlStaircase です。

•	output = T, Tinv, A, B, C, D, r またはそれらのリスト

戻り値を指定します。デフォルトは T です。output に名前が割り当てられている場合は、その名前に対応する値が返されます。output に名前のリストが割り当てられている場合は、リストに含まれる各名前に対応する値が名前の指定順に返されます。T および Tinv はそれぞれ、変換行列および変換の逆行列を指定します。A, B, C, および D は変換された状態空間行列を指します。r にはシステム行列の次元が割り当てられます。ControlStaircase および ObserveStaircase 変換の場合、r はそれぞれ、可制御および可観測サブシステムの次元になります。その他の変換の場合、r は A の次元になります。

•	discrete = truefalse

システムが離散システムなのか連続システムなのかを指定します。true の場合、システムは離散的で、それ以外の場合は連続です。デフォルトは DynamicSystems[SystemOptions] コマンドの discrete 変数の値です。

•	returnlist = truefalse

true の場合はリストが返され、それ以外の場合は式の数列が返されます。デフォルトは false です。

例

(5.1)

Amat := Matrix(3, 3, {(1, 1) = -5, (1, 2) = 1, (1, 3) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = -2, (2, 3) = 1, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = -1})

(5.2)

Bmat := Matrix(3, 1, {(1, 1) = 0, (2, 1) = 0, (3, 1) = 1})

(5.3)

(5.4)

(5.5)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 1, (1, 3) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = 0, (2, 3) = 1, (3, 1) = -10, (3, 2) = -17, (3, 3) = -8}), Matrix(3, 1, {(1, 1) = 0, (2, 1) = 0, (3, 1) = 1}), Matrix(1, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = 0, (1, 3) = 0}), Matrix(1, 1, {(1, 1) = 0})

(5.6)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = 0, (1, 2) = 0, (1, 3) = -10, (2, 1) = 1, (2, 2) = 0, (2, 3) = -17, (3, 1) = 0, (3, 2) = 1, (3, 3) = -8}), Matrix(3, 1, {(1, 1) = 0, (2, 1) = -1/10, (3, 1) = 0}), Matrix(1, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = 0, (1, 3) = 0}), Matrix(1, 1, {(1, 1) = 0})

(5.7)

Matrix(3, 3, {(1, 1) = -5, (1, 2) = 0, (1, 3) = 0, (2, 1) = 0, (2, 2) = -2, (2, 3) = 0, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = -1}), Matrix(3, 1, {(1, 1) = 1/12, (2, 1) = 1/3, (3, 1) = 1/4}), Matrix(1, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = -1, (1, 3) = 1}), Matrix(1, 1, {(1, 1) = 0}), Matrix(3, 3, {(1, 1) = 1, (1, 2) = -1, (1, 3) = 1, (2, 1) = 0, (2, 2) = -3, (2, 3) = 4, (3, 1) = 0, (3, 2) = 0, (3, 3) = 4})

(5.8)

	参照
	DynamicSystems, DynamicSystems[Controllable], DynamicSystems[Grammians], DynamicSystems[Observable], LinearAlgebra, LinearAlgebra[CharacteristicPolynomial], LinearAlgebra[CompanionMatrix], LinearAlgebra[IsSimilar]