Dr. Robert Lopez, Professeur émérite de mathématiques à l'Institut de Technologie Rose-Hulman, et chercheur Maple
Le présent article examine la montée, le déclin et la résurgence de l'utilisation des systèmes d'algèbre informatique (CAS) en classe de mathématiques. En partant de l'enthousiasme suscité par le potentiel de la technologie à révolutionner l'enseignement des mathématiques, cet article explore les difficultés qui ont empêché cette vision de se concrétiser pleinement puis introduit une avancée fondamentale dans l'univers des systèmes CAS qui met finalement à notre portée le rêve d'un enseignement moderne et efficace des mathématiques.
L'ambition de faire d'un système d'algèbre informatique l'«outil de premier recours pour enseigner, apprendre et faire « des mathématiques s'est exprimée dans la subvention de la Fondation Nationale des Sciences (NSF) en 1987 qui a financé la première étape en introduisant des ordinateurs dans les salles de classe de l'Institut de Technologie Rose-Hulman (RHIT). Les premières classes à enseigner avec un système CAS à l'Institut ont démarré à l'automne 1988 et en 1991, l'ensemble des cinq cours de mathématiques obligatoires pour les étudiants en sciences de l'ingénieur et en sciences étaient dispensés de cette manière. En 1995, l'Institut a adopté une politique d'ordinateur portable, et la concrétisation du rêve d'un serviteur mathématique omniprésent devenait imminente.
Dans la seconde moitié des années quatre-vingt, le mouvement en faveur de la réforme du calcul avait incité de nombreux pionniers à mettre sur pied des laboratoires informatiques pratiquant une certaine forme de CAS et à essayer différents paradigmes pour incorporer cette technologie dans le cursus. En même temps, plusieurs enseignants-chercheurs en mathématiques étudiaient et énonçaient un paradigme d'utilisation de cette technologie. Résumé dans la formule « Reclassement des compétences et des concepts «, ce paradigme suggérait de faire appel à un système CAS pour présenter « d'abord « des concepts avant de mettre l'accent sur les compétences manipulatoires concomitantes. Une fois les concepts assimilés, les compétences requises pourraient être explorées dans le système CAS, puis maîtrisées dans toute la mesure nécessaire pour un environnement manuel.
Quelle vision merveilleuse ! Des professeurs enseignant vraiment les mathématiques, rappelant la compréhension théorique du matériel, motivant les étudiants avec des idées et non des exercices. Des étudiants apprenant vraiment et absorbant des idées mathématiques, sans être aux prises de manipulations dont ils ne voyaient pas l'utilité. Mais qu'est-ce qui n'a pas marché ? Pourquoi cette vision s'est-elle évanouie ? Dès le milieu des années quatre-vingt-dix, presque tous les outils CAS disponibles étaient pilotés par des commandes, l'exception étant Derive, arrêté en 2007. Il fallait que les étudiants apprennent d'abord à se servir de l'outil avant d'en tirer bénéfice. Au départ, les pionniers qui ont initialement introduit un système CAS en classe étaient disposés à « payer le prix «, à savoir convaincre les étudiants que l'apprentissage du langage d'un système CAS en valait la chandelle. Mais cette démarche ne s'est pas concrétisée avec ceux auxquels il avait été fait appel pour soutenir la vision des pionniers. Le désenchantement quant à la possibilité d'un système CAS comme outil de travail pour l'enseignement des mathématiques s'installa peu à peu.
Autre obstacle à l'adoption généralisée d'un système CAS comme outil de travail, l'environnement imposé au processus. Les étudiants en font l'expérience comme activité de laboratoire mais le système CAS ne parvient pas à être intégré dans le cursus et ne peut pas devenir l'outil de premier recours. Les exercices de laboratoire obligatoires sont considérés comme un fardeau supplémentaire, en plus des activités standards manuelles endémiques des cours classiques. Les étudiants sont suffisamment intelligents pour s'en rendre compte et se rebellent contre une technologie qui semble alourdir leur charge de travail plutôt que de la diminuer. Le contenu du test constitue la préoccupation habituelle de l'étudiant, et si le test est réalisé à l'aide d'une feuille de papier et d'un crayon, ce sont alors les compétences que l'étudiant souhaite acquérir.
Trois choses sont indispensables pour qu'une technologie prenne : l'applicabilité, l'accessibilité et la facilité d'utilisation. La nouvelle technologie doit constituer un progrès par rapport aux modalités existantes. Elle doit être facilement accessible. Et aussi facile à mettre en œuvre.
Assurément, un dispositif informatique capable de manipuler des symboles et de réaliser pratiquement toutes les manipulations des mathématiques des premières années de faculté doit être perçu comme un outil utile. Son utilité pour faire des mathématiques est attestée par son emploi dans l'industrie et le commerce aujourd'hui. Son utilité pour l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques est attestée par son apparition dans de nombreux cours de mathématiques, sciences et sciences de l'ingénieur en faculté.
L'ordinateur portable (et même la calculatrice « graphique » avancée) promettait l'accessibilité mais la facilité d'utilisation, c'était une autre histoire. Au RHIT au début des années quatre-vingt-dix, époque à laquelle Maple a été adopté comme système CAS standard, il était nécessaire de remettre un guide de syntaxe de 14 pages au début de la séquence de calcul, qu'il fallait elle-même modifier afin de permettre aux étudiants d'acquérir une maîtrise suffisante de Maple pour que soit présenté le matériel pédagogique réel dans ce contexte. Les trois premières semaines du premier semestre étaient consacrées aux sujets de révision intégrés dans le cours. Les sujets de types résolutions d'équations, tracé de graphiques, recherche de fonctions inverses, etc, servaient de terrains de formation pour la maîtrise de Maple. (On s'était aperçu dès le départ qu'enseigner en même temps la syntaxe et de nouveaux concepts, ça ne marchait pas). A la fin du second semestre, tous les sujets classiques avaient été traités, l'efficacité résultant d'un système CAS compensait largement l'investissement financier au début du premier semestre d'apprentissage de Maple. (Cela a changé au fil du temps, car les nouvelles versions de Maple sont devenues de plus en plus faciles à utiliser).
Précisons toutefois que tous les efforts consacrés à l'apprentissage du système CAS comme outil de travail ne contribuent pas à maîtriser la syntaxe de ses commandes. On a constaté au RHIT des étudiants se débattant avec les structures imposées par les rigidités d'un langage de programmation. Les étudiants voulaient par exemple « résoudre » des équations, des intégrales, des limites plutôt que les évaluer. Eh bien, le système CAS dispose de commandes spécifiques pour ces actions, et la mauvaise utilisation d'une commande en raison de négligences linguistiques a tendance à laisser létudiant à la traîne. Dans un environnement où l'on peut éviter les cours à base de CAS, c'est précisément ce que font de nombreux étudiants. Dans un environnement où le système CAS est considéré comme un fardeau supplémentaire, il ne prend ni ne prospère.
Cependant, certaines technologies ont réussi à s'implanter dans le passé. Dans les années cinquante, les mathématiques enseignées dans les établissements secondaires comportaient un apprentissage sur la manière de se servir des algorithmes comme outil de multiplication et division de nombres assez lourds. Au début des années soixante, il était impossible de réussir en cours de physique-chimie (avec leurs laboratoires connexes) sans savoir commencer utiliser une règle à calcul. Au début des années soixante-dix, la calculatrice de poche commençait à apparaître comme outil de travail. En fait, au milieu des années soixante-dix, les calculatrices capables, avec une seule entrée d'un ensemble de données, de calculer toutes les sommes, les sommes des carrés et les sommes des produits nécessaires à l'ajustement par moindres carrés des données, ont révolutionné le laboratoire de statistique. Toute personne encore capable de prendre une racine carrée à la main constitue une exception, même dans un rassemblement de mathématiciens.
Les logarithmes ne sont plus proposés comme outils de travail viables pour multiplier et diviser des nombres. Ce sujet a succombé à la calculatrice de poche. Les règles à calcul ont disparu des salles de cours de la faculté à l'avènement de l'ordinateur personnel. Les calculs des moindres carrés sont banalisés par les logiciels modernes. Plus personne aujourd'hui ne calcule une racine carrée à la main. A l'évidence, les technologies qui allègent le travail, simples d'emploi et facilement accessibles, supplanteront leurs homologues plus anciennes et moins productives. Songez à l'industrie moderne. Par exemple, dans une usine de meubles, on aplanit la surface des planches au moyen d'un rabot électrique, et non d'un rabot à araser à main. La maîtrise des habilités nécessaires pour rectifier une planche, pour le compagnon charpentier, passait par un apprentissage de longue haleine. A quoi bon perpétuer un processus parallèle de ce genre dans « l'usine » académique ? Les technologies de type CAS susceptibles de remplacer les tâches pénibles propices aux erreurs par des résultats instantanés doivent être autorisées à supplanter les approches plus lentes exigeant beaucoup plus de travail.
Les étudiants ne doivent pas subir chacune des étapes suivies par leurs enseignants pour atteindre leur niveau d'expertise. En d'autres termes, il n'est pas nécessaire, d'un point de vue académique, que l'ontogénie résume la phylogénie, une théorie biologique qui soutient qu'au cours du développement de l'embryon à l'adulte, les animaux traversent différentes étapes qui représentent ou ressemblent aux stades successifs de leurs lointains ancêtres. C'est là une théorie de l'évolution largement discréditée, mais qui semble survivre dans le programme de mathématiques que les étudiants sont tenus d'assimiler. Il n'est pas nécessaire que tout étudiant ayant besoin de comprendre les mathématiques fasse l'objet d'un cours de formation ardu débouchant sur un diplôme d'études supérieures dans cette discipline. La seule façon de briser les chaînes que les programmes classiques de mathématiques imposaient aux étudiants, c'est d'adopter à titre de principal outil de travail la puissance de calcul d'un système CAS. De fait, au moins un éditeur de logiciels joue un rôle prépondérant en préconisant de nouveaux programmes informatisés à tous les niveaux de l'enseignement des mathématiques.
Les logiciels puissants et facilement accessibles sont à même de constituer le fondement d'un nouvel apprentissage des cours de sciences, technologie, sciences de l'ingénieur et mathématiques. Un exemple illustrant la raison pour laquelle votre serviteur a constaté que c'était le cas découle de sa première expérience de Maple en classe au RHIT. Les séries de Fourier (sommes de sinusoïdes approchant une fonction) faisaient partie du programme obligatoire. Les coefficients des sommes sont les valeurs de certaines intégrales définies. Avant l'arrivée de Maple, on constatait que les étudiants rédigeaient un symbole de sommation, effectuaient des intégrales (souvent fausses) et soumettaient ce qui constituait un assemblage de symboles dénué de sens. Dans les classes, après l'introduction de Maple grâce auquel ils pouvaient tracer le graphique à la fois de la fonction et des approximations de Fourier qu'ils proposaient, les étudiants ont changé de comportement. Ils soumettaient des graphiques qui montraient que leurs approximations ne représentaient pas la fonction, étant désormais conscients d'avoir commis une erreur. Ils se posaient alors la question suivante : à partir des graphiques, puis-je leur permettre de déterminer simplement quelle erreur a été commise ? A l'évidence, on était parvenu à une importante compréhension conceptuelle.
Dans la figure 1, la définition de la dérivée comme valeur du quotient de différences est appliquée à un polynôme. Notez le « reclassement » pédagogique selon lequel Maple fournit d'abord le résultat final, puis est utilisé pour la mise en œuvre des étapes algébriques de la dérivée. Selon la figure 1, le polynôme est défini comme fonction, et la définition de la dérivée, à savoir la limite du quotient de différences, est implémentée via la notation mathématique naturelle de Maple, exactement comme dans un manuel. L'évaluation est immédiate par le menu contextuel (menu déroulant avec choix d'options) ou, ce qui revient au même, par le clavier. La dérivée est également obtenue à l'aide des notations aussi bien de Newton que de Leibnitz, juste pour vérifier que ces notations ont strictement la même signification que ce qu'affirme la définition. Enfin, les étapes algébriques du calcul sont implémentées dans Maple, principalement via le système de menu contextuel.
Un autre exemple issu des expériences vécues par cet auteur concerne l'enseignement de l'intégrale définie comme limite d'une somme de Riemann correspondante. Une somme de Riemann est la somme des produits des valeurs des fonctions et de petits incréments, la somme représentant la zone approximative sous le graphique de la fonction. Avant l'avènement de la calculatrice de poche, les tentatives d'enseignement en faisant de l'arithmétique à la main, en remplissant des colonnes de chiffres au tableau, etc, étaient totalement vaines. Cette approche ne retenait l'attention des étudiants que quelques minutes et le concept ne voyait jamais le jour. Avec l'apparition de la calculatrice de poche, les étudiants semblaient pouvoir passer au travers de toute l'arithmétique pour en arriver à une approximation significative. Il était malheureusement impossible de contraindre trente étudiants, ayant tous la même calculatrice, à appuyer de façon uniforme et précise sur les touches adéquates. Et sans trace des touches enfoncées, ces expériences s'avérèrent elles aussi un cuisant échec.
Les outils de Maple rendent cependant cette tâche transparente. Pour commencer, considérez l'image du tuteur de la somme de Riemann dans la figure 2. Le graphique affiché montre comment la zone en dessous du graphe d'une fonction est estimée d'après la somme des zones de rectangles équidistants sous la courbe, et permet très rapidement à l'utilisateur de voir les effets de différentes partitions et différentes stratégies de formation de la somme.
Dans la figure 2, le tuteur de la somme de Riemann a été appliqué à la fonction sur l'intervalle. La partition par défaut est de dix sous-intervalles égaux et la somme par défaut est une somme médiane. Les zones réelles et approximatives sous la courbe sont données en dessous du graphique. Différents choix de paramètres étant effectués, le graphique et les valeurs affichées en dessous sont actualisés. Grâce à une interface de ce type, les étudiants peuvent explorer le concept de la somme de Riemann sans être obligés d'effectuer ou mettre en œuvre les calculs, et encore moins de tracer les graphiques correspondants.
Le graphique de la figure 2 est réalisé par la commande de somme de Riemann qui apparaît au bas du tuteur de la figure 2. Cette commande restituera également la somme de Riemann réelle, même en cas de nombre indéterminé de sous-intervalles. Un exemple en est donné dans la figure 3 où, en plus, la commande de valeurs a été appliquée pour obtenir une forme fermée de la somme, forme à partir de laquelle la limite, devenant infinie, peut être déterminée. Cette tâche, qui englobe la définition de l'intégrale définie, permet à l'étudiant de voir la dàfinition « en action ».
La figure 4 illustre la définition de l'intégrale définie, cette fois mise en œuvre grâce à la technologie pointer-cliquer sans syntaxe de Maple. L'intégrante est définie comme fonction via le menu contextuel (déroulant). La limite et les opérateurs de sommation sont implémentés comme modèles de palette. L'évaluation de la limite de la somme de Riemann restante s'effectue via le menu contextuel. Les mathématiques de la figure 3 sont strictement identiques à celles qu'utiliserait un manuel pour exprimer le même concept. La remarque importante ici, c'est que Maple peut utiliser la même notation et que cette notation est liée moteur de calcul sous-jacent.
Bien entendu, la somme de Riemann elle-même, et sa forme fermée équivalente, peuvent être obtenues avec la notation naturelle et sans la contrainte d'une syntaxe spécialisée. Comme l'illustre la figure 5, ces étapes supplémentaires sont implémentées via le menu contextuel, en lançant simplement le système de menu déroulant sur les expressions elles-mêmes.
La somme de Riemann dans la figure 5 est construite à partir d'un modèle de palette, et évaluée selon une expression en forme fermée en recourant au menu contextuel ou à son équivalent, le clavier. Cette transition nécessite des compétences en algèbre. Dans la salle de classe traditionnelle, cette étape requiert beaucoup de temps et une énergie considérable. Au moment où les étudiants ont acquis des capacités suffisantes pour évaluer la somme de Riemann à la main, la connexion du processus à la définition de l'intégrale définie s'est évaporée. L'acquisition des compétences manipulatoires interfère avec l'assimilation du concept de niveau supérieur que les manipulations sont censées servir. Si l'outil dans lequel ces manipulations étaient effectuées s'avérait tout autant fastidieux à maîtriser, ce serait un fiasco : un processus difficile substitué à un autre. Il importe, pour la continuité de l'énoncé d'un concept, qu'un outil comme Maple puisse facilement et naturellement remplacer les manipulations fastidieuses.
On pourrait donner d'innombrables autres exemples à l'appui de l'affirmation selon laquelle les outils d'un système CAS doivent être non seulement robustes et facilement accessibles, mais aussi simples d'emploi. On trouvera des exemples montrant comment les outils de Maple satisfont aux exigences de robustesse et de facilité d'utilisation sur http://www.maplesoft.com/teachingconcepts/. Sur cette page, figurent des démonstrations enregistrées dans lesquels des problèmes courants de calcul, équations différentielles et algèbre linéaire sont résolus avec un modèle de pointer-cliquer. En effet, plus de 150 exemples non négligeables de ce type sont listés et formulés à l'aide d'outils intégrés ne nécessitant l'utilisation d'aucune commande.
De nouvelles technologies améliorant les outils existants sont adoptées. Ce fut même le cas en mathématiques oò les tables des règles à calcul des logarithmes ont cédé la place aux calculatrices puis aux ordinateurs. Mais la mesure radicale consistant à faire du système CAS l'outil de premier recours pour enseigner, apprendre et faire des mathématiques n'est pas encore devenu réalité, en grande partie en raison d'une courbe d'apprentissage trop raide.
Sauf pour Maple, où la courbe d'apprentissage est relativement plate en raison de son paradigme de facilité d'utilisation.
Comme le montrent les exemples des figures 1 à 5 et de la page Enseignement des concepts sur le site Maplesoft, l'exploration mathématique et la résolution de problèmes peuvent être implémentées dans Maple sans devoir préalablement s'investir à fond dans la prise en main de l'outil.
Cette simplicité facilite la mise en oeuvre de la stratégie de res»quencement des concepts et des compétences. Maple étant facile à utiliser, il n'y a pas de longue mise en place pour l'exploration d'un nouveau concept. Les idées mathématiques inhérentes à un sujet peuvent être étudiées, expérimentées, manipulées et apprises en utilisant Maple comme outil de travail, sans avoir à maîtriser au départ tout un ensemble de compétences manipulatoires. Les étapes des algorithmes associés peuvent être implémentées dans Maple sans besoin de maîtrise préalable de compétences manipulatoires. Lorsque l'étudiant saisit pour la premiêre fois le concept et voit comment les détails sont liés à la « vue d'ensemble », la maîtrise des compétences manuelles pertinentes survient alors de manière bien plus efficace.
*Ce programme d'évaluation n'est proposé actuellement ni aux étudiants ni aux particuliers.
